An dëser Verëffentlechung wäerte mir ee vun de klassesche Theorem vun der affiner Geometrie betruechten - de Ceva-Theorem, deen esou en Numm zu Éiere vum italienesche Ingenieur Giovanni Ceva krut. Mir analyséieren och e Beispill fir de Problem ze léisen fir dat presentéiert Material ze konsolidéieren.
Ausso vum Theorem
Dräieck gëtt ABC, an deem all Wirtpunkt mat engem Punkt op der Géigendeel Säit verbonnen ass.
Also kréie mir dräi Segmenter (AA', BB' и CC'), déi genannt ginn cevians.
Dës Segmenter kräizen op engem Punkt wann an nëmmen wann déi folgend Gläichheet hält:
|AN'| |NET'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
Den Theorem kann och an dëser Form presentéiert ginn (et gëtt festgeluecht a wéi engem Verhältnis d'Punkten d'Säiten deelen):
Ceva's trigonometrische Theorem
Notiz: all Ecker sinn orientéiert.
Beispill vun engem Problem
Dräieck gëtt ABC mat Punkten TO', B' и C' op de Säiten BC, AC и AB, respektiv. D'Wénkel vum Dräieck si mat de bestëmmte Punkte verbonnen, an déi geformt Segmenter passéieren duerch ee Punkt. Zur selwechter Zäit sinn d'Punkten TO' и B' geholl um midpoints vun der entspriechend Géigendeel Säiten. Fannt eraus a wéi engem Verhältnis de Punkt C' deelt d'Säit AB.
Léisung
Loosst eis eng Zeechnung no de Konditioune vum Problem zéien. Fir eis Kamoudheet adoptéiere mir déi folgend Notatioun:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Et bleift nëmmen de Verhältnis vun de Segmenter no dem Ceva-Theorem ze komponéieren an déi akzeptéiert Notatioun an et z'ersetzen:
Nodeems mir d'Fraktiounen reduzéiert hunn, kréie mir:
Duerfir, AC' = C'B, dh Punkt C' deelt d'Säit AB an der Halschent.
Dofir, an eisem Dräieck, d'Segmenter AA', BB' и CC' sinn Medianer. Nodeems mir de Problem geléist hunn, hu mir bewisen datt se op engem Punkt kräizen (valabel fir all Dräieck).
Opgepasst: mam Ceva säin Theorem kann een beweisen, datt an engem Dräieck op engem Punkt d'Bisektoren oder d'Héichten sech och duerchschneide.