Extrait vun der Wuerzel vun enger komplexer Zuel

An dëser Verëffentlechung wäerte mir kucken wéi Dir d'Wurzel vun enger komplexer Zuel kënnt huelen, an och wéi dëst hëllefe kann fir quadratesch Equatiounen ze léisen, deenen hir Diskriminant manner wéi null ass.

Extrait vun der Wuerzel vun enger komplexer Zuel

Quadratwurzel

Wéi mir wëssen, ass et onméiglech d'Wurzel vun enger negativer reeller Zuel ze huelen. Awer wann et ëm komplex Zuelen kënnt, kann dës Aktioun gemaach ginn. Loosst eis et erausfannen.

Loosst eis soen, mir hunn eng Zuel z = -9. Fir √-9 et ginn zwou Wuerzelen:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3 ech

Loosst eis d'Resultater iwwerpréiwen andeems Dir d'Gleichung léist z² = -9, net vergiessen, datt i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ ech² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ ech² = 9 ⋅ (-1) = -9

Domat hu mir dat bewisen -3 ech и 3i sinn Wuerzelen √-9.

D'Wurzel vun enger negativer Zuel gëtt normalerweis esou geschriwwen:

√-1 = ± ech

√-4 = ± 2i

√-9 = ± 3i

√-16 = ± 4i etc.

Root zu der Muecht vun n

Ugeholl mir kréien Equatioune vun der Form z = ⁿ√w… Et huet n Wuerzelen (z₀, of₁, of₂,…,z_n-1), déi mat der Formel hei drënner berechent ka ginn:

|w| ass de Modul vun enger komplexer Zuel w;

φ - säin Argument

k ass e Parameter deen d'Wäerter hëlt: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Quadratesch Equatioune mat komplexe Wuerzelen

D'Wurzel vun enger negativer Zuel extrahéieren ännert déi üblech Iddi vun uXNUMXbuXNUMXb. Wann den Diskriminant (D) manner wéi null ass, da kënnen et keng richteg Wuerzelen ginn, awer si kënnen als komplex Zuelen duergestallt ginn.

Beispill

Loosst eis d'Equatioun léisen x² – 8x + 20 = 0.

Léisung

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² -4ac = 64 - 80 = -16

D <0, awer mir kënnen nach ëmmer d'Wurzel vum negativen Diskriminant huelen:

√D = √-16 = ± 4i

Elo kënne mir d'Wuerzelen berechnen:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Dofir ass d'Equatioun x² – 8x + 20 = 0 huet zwee komplex konjugéiert Wuerzelen:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4-2i