Eng komplex Zuel op eng natierlech Kraaft erhéijen

An dëser Publikatioun wäerte mir betruechten wéi eng komplex Zuel op eng Muecht erhéicht ka ginn (och mat der De Moivre Formel). D'theoretescht Material gëtt mat Beispiller fir e bessert Verständnis begleet.

Eng komplex Zuel op eng Muecht erhéijen

Als éischt, erënnert datt eng komplex Zuel déi allgemeng Form huet: z = a + bi (algebraesch Form).

Elo kënne mir direkt op d'Léisung vum Problem virgoen.

Square Zuel

Mir kënnen de Grad als Produkt vun de selwechte Faktoren duerstellen, an dann hire Produkt fannen (während mir eis drun erënneren i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Beispill 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Dir kënnt och benotzen, nämlech de Quadrat vun der Zomm:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Opgepasst: Op déiselwecht Manéier, wann néideg, Formelen fir de Quadrat vum Ënnerscheed, de Wierfel vun der Zomm / Ënnerscheed, etc.

Nth Grad

Erhéije eng komplex Zuel z an Aart n vill méi einfach wann et an trigonometric Form duergestallt ass.

Denkt drun datt allgemeng d'Notatioun vun enger Nummer esou ausgesäit: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Fir Exponentiatioun kënnt Dir benotzen De Moivres Formule (sou benannt nom englesche Mathematiker Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

D'Formel gëtt kritt andeems Dir an trigonometrescher Form schreift (d'Moduler gi multiplizéiert, an d'Argumenter ginn derbäigesat).

Beispill 2

Erhéije eng komplex Zuel z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) op den aachte Grad.

Léisung

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).