Inhalter
An dëser Verëffentlechung wäerte mir d'Definitioun vum Rang vun enger Matrix betruechten, wéi och d'Methoden, duerch déi se fonnt kënne ginn. Mir wäerten och Beispiller analyséieren fir d'Applikatioun vun der Theorie an der Praxis ze demonstréieren.
Bestëmmung vum Rang vun enger Matrix
Matrix Rank ass de Rang vu sengem System vu Reihen oder Kolonnen. All Matrix huet seng Reihen- a Kolonnerangen, déi matenee gläich sinn.
Rei System Rank ass déi maximal Unzuel vu linear onofhängege Reihen. De Rang vum Kolonnsystem gëtt op eng ähnlech Manéier bestëmmt.
Notes:
- De Rang vun der Nullmatrix (bezeechent mam Symbol "θ") vun all Gréisst ass null.
- De Rang vun all net-null Zeilevektor oder Kolonnevektor ass gläich wéi een.
- Wann eng Matrix vun iergendenger Gréisst op d'mannst een Element enthält dat net gläich ass null, dann ass säi Rang net manner wéi een.
- De Rang vun enger Matrix ass net méi grouss wéi seng Minimum Dimensioun.
- Elementar Transformatiounen, déi op enger Matrix gemaach ginn, änneren net säi Rang.
Fannt de Rang vun enger Matrix
Fringing Minor Method
De Rang vun enger Matrix ass gläich mat der maximaler Uerdnung vun engem Net-Null.
Den Algorithmus ass wéi follegt: fannen déi Mannerjäreg vun den ënneschten Uerderen op déi héchst. Wann kleng nUerdnung ass net gläich null, an all duerno (n + 1 an) sinn gläich 0, sou datt de Rang vun der Matrix ass n.
Beispill
Fir et méi kloer ze maachen, loosst eis e praktescht Beispill huelen an de Rang vun der Matrix fannen A drënner, mat der Method vun grenzt Mannerjäregen.
Léisung
Mir hunn et mat enger 4 × 4 Matrix ze dinn, dofir kann säi Rang net méi héich sinn wéi 4. Och an der Matrix sinn et net-null Elementer, dat heescht datt säi Rang net manner wéi een ass. Also loosst eis ufänken:
1. Start kontrolléieren Mannerjäreger vun der zweeter Uerdnung. Fir unzefänken, huelen mir zwou Reihen vun der éischter an zweeter Kolonn.
Minor ass gläich null.
Dofir gi mir op déi nächst kleng (déi éischt Kolonn bleift, an amplaz vun der zweeter huelen mir déi drëtt).
De Mannerjäregen ass 54≠0, sou datt de Rang vun der Matrix op d'mannst zwee ass.
Opgepasst: Wann dës Mannerjäreger gläich Null ass, wäerte mir déi folgend Kombinatioune weider kontrolléieren:
Wann néideg, kann d'Enumeratioun op déiselwecht Manéier mat Strings fortgesat ginn:
- 1 an 3;.
- 1 an 4;.
- 2 an 3;.
- 2 an 4;.
- 3 an 4.
Wann all zweeter Uerdnung Mannerjäregen gläich null waren, da wier de Rang vun der Matrix gläich op eng.
2. Mir hunn et bal direkt fäerdeg bruecht e Mannerjäregen ze fannen deen eis passt. Also loosst eis weidergoen Mannerjäreger vun der drëtter Uerdnung.
Fir déi fonnt Mannerjäreger vun der zweeter Uerdnung, déi en Net-Null Resultat huet, addéiere mer eng Zeil an eng vun de Spalten déi gréng markéiert sinn (mir fänken un vun der zweeter).
De Mannerjäregen huet sech als Null erausgestallt.
Dofir änneren mir déi zweet Kolonn op déi véiert. An op der zweeter Versuch mir et fäerdeg bréngen e Mannerjäregen ze fannen deen net gläich ass null, dat heescht datt de Rang vun der Matrix net manner wéi 3 sinn.
Opgepasst: wann d'Resultat huet sech nees null, amplaz vun der zweeter Zeil, mir wäerten déi véiert weider huelen a weider d'Sich no engem "gutt" Mannerjäregen.
3. Elo bleift et ze bestëmmen Mannerjäreger vun der véierter Uerdnung baséiert op wat virdrun fonnt gouf. An dësem Fall ass et een deen dem Determinant vun der Matrix entsprécht.
Minor ass gläich 144≠0. Dëst bedeit datt de Rang vun der Matrix A entsprécht 4.
Reduktioun vun enger Matrix op eng gesteppte Form
De Rang vun enger Schrëttmatrix ass gläich wéi d'Zuel vu sengen net-null Reihen. Dat ass, alles wat mir maache mussen ass d'Matrix an déi entspriechend Form ze bréngen, zum Beispill mat , déi, wéi mir uewen ernimmt hunn, hire Rang net änneren.
Beispill
Fannt de Rang vun enger Matrix B ënnendrënner. Mir huelen net en ze komplexe Beispill, well eist Haaptziel ass einfach d'Uwendung vun der Method an der Praxis ze demonstréieren.
Léisung
1. Éischt, subtrahéieren déi verduebelt éischt vun der zweeter Linn.
2. Elo subtrahéieren déi éischt Zeil vun der drëtter Zeil, multiplizéiert mat véier.
Also hu mir eng Schrëtt Matrix kritt, an där d'Zuel vun net-null Reihen zwee gläich ass, dofir ass säi Rang och gläich wéi 2.