Dem Fermat säi klengen Theorem

An dëser Verëffentlechung wäerte mir ee vun den Haapttheorem an der Theorie vun den Ganzen berücksichtegen -  Dem Fermat säi klengen Theorembenannt nom franséische Mathematiker Pierre de Fermat. Mir analyséieren och e Beispill fir de Problem ze léisen fir dat presentéiert Material ze konsolidéieren.

Ausso vum Theorem

1. Ufanks

If p ass eng Primzuel a ass eng ganz Zuel déi net deelbar ass duerch pdann a^p-1 - 1 gedeelt duerch p.

Et ass formell esou geschriwwen: a^p-1 ≡ 1 (géint p).

Opgepasst: Eng Primzuel ass eng natierlech Zuel déi nëmmen deelbar ass duerch XNUMX a selwer ouni Rescht.

Zum Beispill:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15
• Zuel 15 gedeelt duerch 5 ouni Rescht.

2. Alternativ

If p ass eng Primzuel, a all ganz Zuel, dann a^p vergläichbar mat a modulo p.

a^p ≡ a (géint p)

Geschicht vun fannen Beweiser

De Pierre de Fermat huet den Theorem 1640 formuléiert, awer selwer net bewisen. Spéider gouf dat vum Gottfried Wilhelm Leibniz gemaach, en däitsche Philosoph, Logiker, Mathematiker, etc. Et gëtt ugeholl datt hien de Beweis scho bis 1683 hat, obwuel en ni publizéiert gouf. Et ass bemierkenswäert datt de Leibniz den Theorem selwer entdeckt huet, net wousst datt et scho virdru formuléiert gouf.

The first proof of the theorem was published in 1736, and it belongs to the Swiss, German and mathematician and mechanic, Leonhard Euler. Fermat’s Little Theorem is a special case of Euler’s theorem.

Beispill vun engem Problem

Fannt de Rescht vun enger Zuel 2¹² on 12.

Léisung

Loosst eis eng Zuel virstellen 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 ass eng Primzuel, dofir kréien mir vum Fermat sengem klenge Theorem:

2¹¹ ≡ 2 (géint 11).

Duerfir, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (géint 11).

Also d'Zuel 2¹² gedeelt duerch 12 mat engem Rescht gläich wéi 4.